Jump to content

Есть кто в геометрии шарит?


 Share

Recommended Posts

Сын сдает ЕГЭ. У него такая задача в подготовительном сборнике

Дано:

Равнобедренный треугольник. Высота опущенная на основание равна 9

Радиус вписанной окружности равен 4.

Найдите радиус окружности соприкасающейся с основанием и продолжением сторон.

Я решил так:

За Х принял диаметр окружности которую нужно найти. Далее уравнение

9/8=(Х+9)/Х

В общем у меня получилось радиус 36. И ответ вроде как правильный, но решение дано с использованием тригонометрических функций (если я правильно помню как это называется).

Теперь вопрос, можно ли использовать мое решение и если нет то в чем ошибка?

Link to comment
Share on other sites

Да там все последовательно из нескольких прямоугольных треугольников вычислить можно. А тригонометрические функции учат в школе.

 

Только решать надо не как развращенные инженеры с дипломами решают, а как в школе учат. Проверять-то будут, думается, по образцу и второпях.

 

А так, я видел решение подобной задачи учительницей (или школьницей? важно, что в правильной парадигме), не вдохновлен ни разу был.

Link to comment
Share on other sites

Степан, все понятно, что с помощью треугольников прямых)))) Вопрос состоит в том правильно ли мое решение и если нет, то почему.

А в школе я учился давно))) Очень давно. И задачу решал просто из интереса.

Link to comment
Share on other sites

Так я сообщаю, что учат, из первых рук, в 9 классе уже учили. И задачи как раз такие.

 

Решение правильное, а обосновать?

Link to comment
Share on other sites

Обоснование? Хм, треугольник ровнобедренный и вторая окружность тоже будет вписанной, если провести снизу черту))) И там должно быть все пропорционально по идее, вот и все мое обоснование. ))))

Link to comment
Share on other sites

За Х принял диаметр окружности которую нужно найти. Далее уравнение 9/8=(Х+9)/Х

 

Не могу понять, откуда взята эта пропорция? Я исходил из синуса половины угла при вершине треугольника, он равен 4/(9-4) в исходном треугольнике и x/(x+9) в новом, образованном искомым радиусом окружности, высотой и продолжением стороны. Получается 9/5=х/(х+9). х=36. Результат тот же.

Link to comment
Share on other sites

Не могу понять, откуда взята эта пропорция?

Треугольники подобные получаются и соответственно вписанные окружности тоже должны быть подобны, разве нет?

Link to comment
Share on other sites

Треугольники подобные получаются и соответственно вписанные окружности тоже должны быть подобны, разве нет?

 

По идее да. "Сердцем чувствую, что литр, а доказать не могу" (с) :)

Link to comment
Share on other sites

Я тож по наитию решал))) схематично начертил и вроде все срослось)) Пропорции там должны сохраняться. мне тут сынок подсказывает что подобие можно доказать))) Какими-то там углами и параллельностью оснований)))

Link to comment
Share on other sites

А в ЕГЭ разве решение нужно приводить? Наверное ответ в клетку вписал и все. Какое счастье, что я успел вовремя школу закончить! :)

Link to comment
Share on other sites

Два треугольника - меньший исходный и второй больший - подобны, т.к. у них одинаковые углы. Углы одинаковые, потому что один угол общий, а основания треугольников параллельны друг другу, отсюда равенство остальных углов. Они параллельны друг другу, потому что оба перпендикулярны прямой, на которой лежат высоты обоих треугольников и радиусы вписанных окружностей (перпендикулярны, потому что по условию окружности касаются оснований). Радиусы лежат на той же прямой, что и высоты, потому что треугольники равнобедренные.

 

А в подобных треугольниках стороны и, в частности, высоты, пропорциональны. Радиусы вписанных окружностей тоже (вот только не знаю, проходил ли ваш сын формулу радиуса вписанной окружности).

 

Отсюда пропорция, которую вы привели. Только можно сразу за Х принять искомый радиус, тогда пропорция будет выглядеть так - Х/4 = (9+2Х)/9. Отсюда Х=36.

 

Не учитель, на истину не претендую.

Link to comment
Share on other sites

А так через тригонометрию:

 

обозначим за A ( это альфа такаяsmile.png) половинный угол вершины треугольника, откуда опущена высота (мы помним, что высота, опущенныя из вершины равнобедренного тр-ка также является и биссектрисой (и медианой заодно)). Тогда sinА = 4/(9-4) = 4/5.

 

Но этот же синус можно определить так - sinA = X/(9+X). Х это искомый радиус. Отсюда уравнение 4/5 = Х/(9+Х). Откуда Х = 36.

 

Извините, без чертежа, но нарисуйте - все будет не сложно.

Link to comment
Share on other sites

Join the conversation

You can post now and register later. If you have an account, sign in now to post with your account.

Guest
Reply to this topic...

×   Pasted as rich text.   Paste as plain text instead

  Only 75 emoji are allowed.

×   Your link has been automatically embedded.   Display as a link instead

×   Your previous content has been restored.   Clear editor

×   You cannot paste images directly. Upload or insert images from URL.

 Share

  • Recently Browsing   0 members

    • No registered users viewing this page.

×
×
  • Create New...

Important Information

We have placed cookies on your device to help make this website better. You can adjust your cookie settings, otherwise we'll assume you're okay to continue.