Есть кто в геометрии шарит?

[Каскад]

Сын сдает ЕГЭ. У него такая задача в подготовительном сборнике

Дано:

Равнобедренный треугольник. Высота опущенная на основание равна 9

Радиус вписанной окружности равен 4.

Найдите радиус окружности соприкасающейся с основанием и продолжением сторон.

Я решил так:

За Х принял диаметр окружности которую нужно найти. Далее уравнение

9/8=(Х+9)/Х

В общем у меня получилось радиус 36. И ответ вроде как правильный, но решение дано с использованием тригонометрических функций (если я правильно помню как это называется).

Теперь вопрос, можно ли использовать мое решение и если нет то в чем ошибка?

[hungryforester]

Да там все последовательно из нескольких прямоугольных треугольников вычислить можно. А тригонометрические функции учат в школе.

 

Только решать надо не как развращенные инженеры с дипломами решают, а как в школе учат. Проверять-то будут, думается, по образцу и второпях.

 

А так, я видел решение подобной задачи учительницей (или школьницей? важно, что в правильной парадигме), не вдохновлен ни разу был.

[Каскад]

Степан, все понятно, что с помощью треугольников прямых)))) Вопрос состоит в том правильно ли мое решение и если нет, то почему.

А в школе я учился давно))) Очень давно. И задачу решал просто из интереса.

[hungryforester]

Так я сообщаю, что учат, из первых рук, в 9 классе уже учили. И задачи как раз такие.

 

Решение правильное, а обосновать?

[Каскад]

Обоснование? Хм, треугольник ровнобедренный и вторая окружность тоже будет вписанной, если провести снизу черту))) И там должно быть все пропорционально по идее, вот и все мое обоснование. ))))

[Uwin]

За Х принял диаметр окружности которую нужно найти. Далее уравнение 9/8=(Х+9)/Х

 

Не могу понять, откуда взята эта пропорция? Я исходил из синуса половины угла при вершине треугольника, он равен 4/(9-4) в исходном треугольнике и x/(x+9) в новом, образованном искомым радиусом окружности, высотой и продолжением стороны. Получается 9/5=х/(х+9). х=36. Результат тот же.

[Каскад]

Не могу понять, откуда взята эта пропорция?

Треугольники подобные получаются и соответственно вписанные окружности тоже должны быть подобны, разве нет?

[Uwin]

Треугольники подобные получаются и соответственно вписанные окружности тоже должны быть подобны, разве нет?

 

По идее да. "Сердцем чувствую, что литр, а доказать не могу" (с) :)

[Каскад]

Я тож по наитию решал))) схематично начертил и вроде все срослось)) Пропорции там должны сохраняться. мне тут сынок подсказывает что подобие можно доказать))) Какими-то там углами и параллельностью оснований)))

[zubik]

А в ЕГЭ разве решение нужно приводить? Наверное ответ в клетку вписал и все. Какое счастье, что я успел вовремя школу закончить! :)

[Каскад]

"С" часть требует показывать КАК решал)))

[Cortess]

OFF

[Uwin]

[Игорь из Нска]

Два треугольника - меньший исходный и второй больший - подобны, т.к. у них одинаковые углы. Углы одинаковые, потому что один угол общий, а основания треугольников параллельны друг другу, отсюда равенство остальных углов. Они параллельны друг другу, потому что оба перпендикулярны прямой, на которой лежат высоты обоих треугольников и радиусы вписанных окружностей (перпендикулярны, потому что по условию окружности касаются оснований). Радиусы лежат на той же прямой, что и высоты, потому что треугольники равнобедренные.

 

А в подобных треугольниках стороны и, в частности, высоты, пропорциональны. Радиусы вписанных окружностей тоже (вот только не знаю, проходил ли ваш сын формулу радиуса вписанной окружности).

 

Отсюда пропорция, которую вы привели. Только можно сразу за Х принять искомый радиус, тогда пропорция будет выглядеть так - Х/4 = (9+2Х)/9. Отсюда Х=36.

 

Не учитель, на истину не претендую.

[Игорь из Нска]

А так через тригонометрию:

 

обозначим за A ( это альфа такая) половинный угол вершины треугольника, откуда опущена высота (мы помним, что высота, опущенныя из вершины равнобедренного тр-ка также является и биссектрисой (и медианой заодно)). Тогда sinА = 4/(9-4) = 4/5.

 

Но этот же синус можно определить так - sinA = X/(9+X). Х это искомый радиус. Отсюда уравнение 4/5 = Х/(9+Х). Откуда Х = 36.

 

Извините, без чертежа, но нарисуйте - все будет не сложно.